Question

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，bcosC+

3

bsinC-a-c=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面積為

3

，求△ABC的內切圓與外接圓面積之比．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到sin（B-

π

6

）=

1

2

，利用特殊角的三角函數值即可求出B的大小；
（2）利用三角形面積公式列出關系式，將sinB與已知面積代入求出ac=4①，利用余弦定理列出關系式，將b，cosB代入求出a²+c²=8②，聯立①②求出a與c的值，設內切圓的半徑為r，外接圓半徑為R，利用面積法求出r的值，利用正弦定理求出R的值，即可求出△ABC的內切圓與外接圓面積之比．

解答： 解：（1）將bcosC+

3

bsinC-a-c=0，利用正弦定理化簡得：sinBsinC+

3

sinBsinC-sinA-sinC=0，
即sinBsinC+

3

sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，
∴

3

sinB=cosB+1，即sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，
∴B-

π

6

=

π

6

，即B=

π

3

；
（2）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3

，∴ac=4①，
∵b=2，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²-ac=a²+c²-4=4，即a²+c²=8②，
聯立①②解得：a=c=2，
設內切圓的半徑為r，外接圓半徑為R，
∴

1

2

（a+b+c）r=

3

，即r=

3

3

，

b

sinB

=2R，即R=

2 3

3

，
則△ABC的內切圓與外接圓面積之比為

r2

R2

=

1

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及內切圓與外接圓性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．