Question

【題目】在中，AB=AC.試求出應滿足的一個充分必要條件，使得在的內部存在一個點，滿足（1）；（2）.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖設以為半徑，分別以、為圓心的兩圓相交于另外一點，顯然是等邊三

角形，且，.

因為點在內，且，所以，點在弧上.

又，從而，.故.

設弧交于點，由以上的分析可知：

在內部存在一點，使得且的充分必要條件是，

線段的垂直平分線與弧的內部（不包括點）有交點，

即等價于的角平分線交弧的內部于一點.

考慮兩個極端情形：

（i）與重合.這時，

(ii)角平分線與⊙相切于點.這時由及可得與的夾角為.

從而，，.

再由上述充分必要條件可知：

點存在

的角平分線交的內部于一點

(否則就不會有交點）.

因此所求的充分必要條件為.

注：我們可證明.

記，則

，，

所以，.

于是，垂直平分線段.

記，交于點.

由，可知

.

又，

故.

注：此題可利用“Femat點”求解，也可用“三角法”求解.