Question

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，點D是AB的中點.

（1）求證：AC1∥平面CDB1；

（2）求四面體B1C1CD的體積.

 

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐D－B1C1C的體積為.

【解析】

試題分析：（1）連接BC1，設BC1與B1C的交點為E，連接DE，證得DE∥AC1；由線面平行的判定定理即可證明AC1∥平面CDB1；（2）在平面ABC內作DF⊥BC于點F，可以證明DF是三棱錐D－CC1B1的高，再由錐體體積公式即可求解.

試題解析：

（1）證明：連結BC1，設BC1與B1C的交點為E，連結DE.

∵三棱柱ABC－A1B1C1，CC1⊥底面ABC，CC1＝BC＝2，

∴四邊形BCC1B1為正方形. ∴E為BC1中點.

∵D是AB的中點， ∴DE∥AC1.

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1. 4分

（2）在平面ABC內作DF⊥BC于點F，

∵CC1⊥平面ACB , DF平面ACB，

∴CC1⊥DF.

∵BCCC1＝C

∴DF⊥平面BCC1B1.

∴DF是三棱錐D－CC1B1的高，

∵AC＝BC＝CC1＝2

∴ DF＝1.

∴四面體B1C1CD的體積為. 9分

考點：線面平行的判定定理、空間幾何體的體積.