Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足 = + ． （Ⅰ）求證：A，B，C三點共線；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0， ]，f（x）= ﹣（2m2+ ）| |的最小值為 ，求實數m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：根據條件：

=

=

= ；

∴ ；

∴A，B，C三點共線；

（Ⅱ）根據條件： ， = ， ，且 ；

∴ = ， ；

∴

=﹣sin2x﹣2m2sinx+2

=﹣（sinx+m2）2+m4+2；

又sinx∈[0，1]；

∴sinx=1時，f（x）取最小值 ；

即 ；

∴ ；

∴ ．

【解析】（Ⅰ）將 代入 ，然后進行向量的數乘運算即可得出 ，從而得出A，B，C三點共線；（Ⅱ）由條件即可求出 的坐標，進而求出 ，及 的值，代入 并化簡即可得出f（x）=﹣sin2x2m2sinx+2，而配方即可得出sinx=1時，f（x）取最小值 ，從而得到 ，這樣即可解出m的值．