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【題目】已知，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最小值及此時直線的方程.

【答案】（1）（2）的最小值為1，此時直線：

【解析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設動點為，把已知用坐標表示并整理即得．注意取值范圍；

（2）設：，將其與曲線的方程聯立，消元并整理得，

設，，則可得，，由求出，

將直線方程與聯立，得，求得，計算，設.顯然，構造，由導數的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.

（1）設，則，即

整理得

（2）設：，將其與曲線的方程聯立，得

即

設，，則，

將直線：與聯立，得

∴

設.顯然

構造

在上恒成立

所以在上單調遞增

所以，當且僅當，即時取“=”

即的最小值為1，此時直線：.

（注：1.如果按函數的性質求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據步驟相應給分.）

練習冊系列答案

超能學典單元期中期末專題沖刺100分系列答案

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【題目】某城市有東、西、南、北四個進入城區主干道的入口，在早高峰時間段，時常發生交通擁堵，交警部門記錄了11月份30天內的擁堵情況（如下表所示，其中●表示擁堵，○表示通暢）.假設每個人口是否發生擁堵相互獨立，將各入口在這30天內擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

東入口

●

○

●

○

●

○

●

○

●

西入口

○

●

○

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○

●

○

●

○

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○

南入口

○

●

○

●

○

●

北入口

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○

●

○

●

○

●

○

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11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

東入口

●

○

●

○

p>○

●

○

●

○

●

○

●

西入口

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○

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○

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○

●

○

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○

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○

●

○

南入口

○

●

○

●

○

●

北入口

○

●

○

●

○

（1）分別求該城市一天中早高峰時間段這四個主干道的入口發生擁堵的概率.

（2）各人口一旦出現擁堵就需要交通協管員來疏通，聘請交通協管員有以下兩種方案可供選擇.方案一：四個主干道入口在早高峰時間段每天各聘請一位交通協管員，聘請每位交通協管員的日費用為（，且）元.方案二：在早高峰時間段若某主干道入口發生擁堵，交警部門則需臨時調派兩位交通協管員協助疏通交通，調派后當日需給每位交通協管員的費用為200元.以四個主干道入口聘請交通協管員的日總費用的數學期望為依據，你認為在這兩個方案中應該如何選擇？請說明理由.

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（1）證明：當時，；

（2）求數列的通項公式；

（3）設，求數列的前項和.

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【題目】國家每年都會對中小學生進行體質健康監測，一分鐘跳繩是監測的項目之一.今年某小學對本校六年級300名學生的一分鐘跳繩情況做了統計，發現一分鐘跳繩個數最低為10，最高為189.現將跳繩個數分成，，，，，6組，并繪制出如下的頻率分布直方圖.

（1）若一分鐘跳繩個數達到160為優秀，求該校六年級學生一分鐘跳繩為優秀的人數；

（2）上級部門要對該校體質監測情況進行復查，發現每組男、女學生人數比例有很大差別，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為.試估計此校六年級男生一分鐘跳繩個數的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，結果保留整數）.