Question

【題目】函數.

（1）根據不同取值，討論函數的奇偶性；

（2）若，對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若已知，. 設函數，，存在、，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，結合奇偶性的定義得出函數的奇偶性；

（2）滿足不等式，在時，可得出，可得出不等式對任意的恒成立，然后利用參變量分離法得出，利用函數單調性分別求出函數和在區間上的最大值和最小值，即可得出實數的取值范圍；

（3）由題意知，當時，，將代入函數的解析式，求出該函數的最小值，利用復合函數法求出函數在區間上的最大值，然后解不等式，即可得出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，關于原點對稱.

當時，，，

此時，函數為奇函數；

當時，，，，

則，，此時，函數為非奇非偶函數；

（2）當時，則有恒成立，此時；

當時，由，即，即，

，，則，所以，不等式對任意的恒成立，

由，即，，即.

函數在區間上單調遞增，，

函數在區間上單調遞減，則，.

因此，實數的取值范圍是；

（3）由題意知，當時，，

當時，.

當時，，

此時，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，

且，，則；

當時，，

此時，函數在區間上單調遞增，則.

所以，函數在區間上的最小值為.

對于函數，

內層函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

外層函數是減函數，

所以，，

由題意得，則有，解得.

因此，實數的取值范圍是.