Question

【題目】有一塊三角形邊角地，如圖，，，.（單位為百米）.欲利用這塊地修一個三角形形狀的草坪（圖中）供市民休閑，其中點在邊上，點在邊上，沿的三邊修建休閑長廊，規劃部門要求的面積占面積的一半，設（百米），的周長為（百米）

（1）求出函數的解析式及定義域

（2）求出休閑長廊總長度的取值范圍，并確定當取到最大值時點，的位置

Answer 1

【答案】（1），

（2），當在處，點在線段的中點時最大值為百米

【解析】

（1）由，可先結合正弦定理的面積公式表示出，再由余弦定理代換出，結合周長公式即可求解；

（2）令，利用換元法和函數單調性即可求解最值，以進一步確定點，的位置

（1）設，，，

由余弦定理可得，

即，則，又，解得

所以，；

（2），，

令，當且僅當時，即時，，

由對勾函數性質可知，當時單減，

當時，單增，，，故，

，因為，故整體單增，為增函數，故時，

，時，，∴

此時，解得（舍去），，則，

，∴當在處，點在線段的中點時最大值為百米