Question

【題目】如圖，用一平面去截球，所得截面面積為，球心到截面的距離為3，為截面小圓圓心，為截面小圓的直徑.

（1）計算球的表面積和體積；

（2）若是截面小圓上一點，，分別是線段和的中點，求異面直線與所成的角（結果用反三角表示）.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）求出小圓的半徑，然后利用球心到該截面的距離為3cm，小圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積和體積（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補角），連接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．

（1）連接OA，由題意得，截面小圓半徑為4，

在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，

由勾股定理知，AO=5，

球O的表面積為：，

體積.

（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補角）．

在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，則AC=4，

連接OC，在△OAC中，OA=OC=5，

由余弦定理知：

，

，

異面直線AC與MN所成的角為．