Question

設雙曲線C的中心在原點，它的右焦點是拋物線的焦點，且該點到雙曲線的一條準線的距離為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B，試問：
（1）當k為何值時，以AB為直徑的圓過原點；
（2）是否存在這樣的實數k，使A、B關于直線y=ax對稱（a為常數），若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為，（1分）
∴設中心在原點，右焦點為的雙曲線C的方程為．
∵到雙曲線的一條準線的距離為，
∴．（2分）
∴．∴．（3分）
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．（4分）
（Ⅱ）（1）由得（3-k²）x²-2kx-2=0．（5分）
由得．①（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．（9分）
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
將，，代入②，解得k=±1，滿足①．
∴k=±1時，以AB為直徑的圓過原點．（10分）
（2）假設存在實數k，使A、B關于直線y=ax對稱（a為常數），
則由④、⑤得a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2．（12分）
將代入上式，得2ak=6，∴ak=3．與③矛盾．（13分）
∴不存在實數k，使A、B關于直線y=ax對稱．（14分）
分析：（I）求出拋物線的焦點坐標，求出雙曲線的準線方程，利用雙曲線中a，b，c的關系求出雙曲線方程．
（II）（1）將直線與雙曲線方程聯立，利用韋達定理得到兩交點坐標滿足的條件；注意判別式大于0求出斜率的范圍；
將以AB為直徑的圓過原點轉化為OA⊥OB即，將韋達定理代入向量等式求出k．
（2）利用兩點關于直線對稱滿足兩點的中點在直線上；兩點連線與對稱軸垂直列出方程組，將韋達定理代入得到a，k關系．判斷出是否存在．
點評：本題考查雙曲線中參數a，b，c的關系、考查解決直線與圓錐曲線的位置關系常將它們的方程聯立，利用韋達定理處理、
處理兩點關于直線對稱的問題常借用兩點的中點在對稱軸上；兩點連線與對稱軸垂直．