Question

設雙曲線C的中心在原點，它的右焦點是拋物線的焦點，且該點到雙曲線的一條準線的距離為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B，試問：當k為何值時，以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出雙曲線的標準方程，根據拋物線的方程求得焦點坐標，進而根據焦點到雙曲線的一條準線的距離為求得a，進而根據a，b和c的關系求得b，雙曲線方程可得．
（2）直線方程與雙曲線方程聯立消去y，根據判別式大于0和3-k²≠0求得k的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根據OA⊥OB，可知y₂y₁+x₂x₁=0，把直線方程代入整理可得x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．進而根據韋達定理把x₁+x₂和x₁x₂代入求得k，然后檢驗k是否符合前面所求k的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為，
∴設中心在原點，右焦點為的雙曲線C的方程為．
∵到雙曲線的一條準線的距離為，
∴．
∴．∴．
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．
（Ⅱ）由得（3-k²）x²-2kx-2=0
由得．①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
將，，代入②，解得k=±1，滿足①．
∴k=±1時，以AB為直徑的圓過原點．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關系．