Question

設(shè)雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，它的右焦點(diǎn)是拋物線(xiàn)y2=

8 3

3

x的焦點(diǎn)，且該點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

3

2

．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C交于兩點(diǎn)A、B，試問(wèn)：
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使A、B關(guān)于直線(xiàn)y=ax對(duì)稱(chēng)（a為常數(shù)），若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用雙曲線(xiàn)中a，b，c的關(guān)系求出雙曲線(xiàn)方程．
（II）（1）將直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件；注意判別式大于0求出斜率的范圍；
將以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為OA⊥OB即

OA

•

OB

=0，將韋達(dá)定理代入向量等式求出k．
（2）利用兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)滿(mǎn)足兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線(xiàn)上；兩點(diǎn)連線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直列出方程組，將韋達(dá)定理代入得到a，k關(guān)系．判斷出是否存在．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線(xiàn)y2=

8 3

3

x的焦點(diǎn)為(

2 3

3

，0)，（1分）
∴設(shè)中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為(

2 3

3

，0)的雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
∵(

2 3

3

，0)到雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

3

2

，
∴

a2

c

=

2 3

3

-

3

2

=

3

6

．（2分）
∴a2=

3

6

×

2 3

3

=

1

3

．∴b2=c2-a2=(

2 3

3

)2-

1

3

=1．（3分）
∴雙曲線(xiàn)C的方程為3x²-y²=1．（4分）
（Ⅱ）（1）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0．（5分）
由

△=4k2-4(-2)(3-k2)＞0 3-k2≠0

得-

6

＜k＜

6

(k≠±

3

)．①（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．（9分）
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
將x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

，代入②，解得k=±1，滿(mǎn)足①．
∴k=±1時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．（10分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使A、B關(guān)于直線(xiàn)y=ax對(duì)稱(chēng)（a為常數(shù)），
則

ka=-1 y1+y2=k(x1+x2)+2 y1+y2 2 =a• x1+x2 2 .

由④、⑤得a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2．（12分）
將x1+x2=

2k

3-k2

代入上式，得2ak=6，∴ak=3．與③矛盾．（13分）
∴不存在實(shí)數(shù)k，使A、B關(guān)于直線(xiàn)y=ax對(duì)稱(chēng)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)中參數(shù)a，b，c的關(guān)系、考查解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系常將它們的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理處理、
處理兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題常借用兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上；兩點(diǎn)連線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直．