Question

已知函數f（x）=3e^x-x²e^x-a在R上存在三個零點，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、[6e^-3，2e]
• B、（0，2e]
• C、（-6e^-3，0）
• D、（-6e^-3，2e）

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：令f（x）=0，得a=3e^x-x²e^x，令h（x）=3e^x-x²e^x，求導數h′（x）=3e^x-2xe^x-x²e^x=-e^x（x+3）（x-1），由此求出函數f（x）在R上存在3個零點的a的范圍．

解答： 解：令f（x）=0，
∴a=3e^x-x²e^x，
令h（x）=3e^x-x²e^x，
h′（x）=3e^x-2xe^x-x²e^x
=-e^x（x+3）（x-1），
∴x＜-3時，h′（x）＜0，
-3＜x＜1時，h′（x）＞0，
 x＞1時，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（-3）=-6e^-3，
h（x）_max=h（1）=2e；
∴實數a的取值范圍為：（-6e^-3，2e），
故選：D．

點評：本題考查函數最值的求法和函數存在3個零點時求a的取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的應用．