Question

已知命題p：f（x）=x²-4mx+4m²+2在區間[-1，3]上的最小值等于2；命題q：不等式|x|+|x-1|≥m對任意x∈R恒成立．如果上述兩個命題中有且僅有一個是真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：兩個命題中有且僅有一個是真命題，分別求出使p真q假，p假q真的m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x²-4mx+4m²+2=（x-2m）²+2在區間[-1，3]上的最小值等于2
∴-1≤2m≤3
即命題p等價于-

1

2

≤m≤

3

2

，記A=[-

1

2

，

3

2

]；（4分）
∵（|x|+|x-1|）_min=1，又不等式|x|+|x-1|≥m對任意x∈R恒成立
∴m≤1，記B=（-∞，1]．（8分）
因此所求的m的范圍為[A∩（C_RB）]∪[B∩（C_RA）]=(1，

3

2

]∪(-∞，-

1

2

)．（12分）

點評：本題考查符合命題真假成立的條件，一般化為簡單命題的真假去解決．考查邏輯思維、計算能力．