Question

【題目】如圖，已知橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，焦距為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)（異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn).

①若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求證：點(diǎn)始終在一條直線(xiàn)上.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為， 的坐標(biāo)為（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）①求得直線(xiàn)MA1的方程和以MA2的方程，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），求得直線(xiàn)MA1的方程和以MA2的方程，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，結(jié)合P，Q，B三點(diǎn)共線(xiàn)，所以kPB=kQB，化簡(jiǎn)整理，可得或．分別考慮，即可得到點(diǎn)M始終在一條定直線(xiàn)x=4上．

試題解析：

⑴由得 所以橢圓的方程為．

⑵①因?yàn)?/span>， ， ，所以的方程為，代入，

，即，

因?yàn)?/span>，所以，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

②設(shè)點(diǎn)，由題意， ．因?yàn)?/span>， ， 所以直線(xiàn)的方程為，代入，得，

即，因?yàn)?/span>，

所以，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)?/span>， ， 三點(diǎn)共線(xiàn)，所以， ．

所以，即，

由題意， ，所以．

即．

所以，則或．若，則點(diǎn)在橢圓上， ， ， 為同一點(diǎn)，不合題意．故，即點(diǎn)始終在定直線(xiàn)上.