Question

【題目】設F1 ， F2分別是橢圓E： =1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F1傾斜角為45°的直線l與E相交于A，B兩點，且|AB|= （Ⅰ）求E的離心率
（Ⅱ）設點P（0，﹣1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得直線l的方程為：y=x+c，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． 聯立 ，化為：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
|AB|= = = ，
化為：a2=2b2 ．
∴e= = = ．
（Ⅱ）設線段AB的中點M（x0 ， y0）．
x0= =﹣ =﹣ ．y0=x0+c= c．
∵點P（0，﹣1）滿足|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
∴kPMkAB= ×1=﹣1，解得c=3．
∴a2=b2+c2=2b2 ， 解得b=c=3，a2=18．
∴橢圓E的方程為 =1
【解析】（I）由題意可得直線l的方程為：y=x+c，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，利用根與系數的關系代入|AB|= = ，化簡即可得出．（II）設線段AB的中點M（x0 ， y0）．可得x0= =﹣ ．y0=x0+c．根據點P（0，﹣1）滿足|PA|=|PB|，可得PM⊥AB，kPMkAB=﹣1，解得c．a2=b2+c2=2b2 ， 解得b，a．