Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別是，，點，若的內切圓的半徑與外接圓的半徑的比是.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓的右頂點，設圓：，不與軸垂直的直線與交于、兩點，原點到直線的距離為，線段、分別與橢圓交于、，，垂足為.設，，的面積為，的面積為.

①試確定與的關系式；、

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）利用三角形的內切圓半徑公式與外接圓的半徑公式，求得兩個圓的半徑，根據條件，列出等量關系式，求得結果；

（2）①根據點到直線的距離，以及圓的半徑，可知，即，利用點在圓上，利用向量的關系，得到坐標的關系，點的坐標滿足圓的方程，整理得到；②根據①中的條件，可以整理得到，是定值，再設直線的方程為，利用弦長公式求得，再利用垂直關系得到之后應用面積公式得到，之后利用面積公式得到，可以發現越小，其值越大，再將等于零時的情況代入求得結果.

（1）根據題意，設的內切圓半徑為，

則有，因為，

整理得，

設的外接圓的半徑為，

則有，即，所以，

根據題意有，所以，即，

整理得，因為，所以，因為，所以，

所以橢圓C的方程為：.

（2）①根據題意，原點O到直線l的距離為，且，

所以，，

設，

由題意可知：，

因為，所以，

所以，同理，

因為，所以，

同理，

因為，所以，所以，

所以，

整理得，

所以的關系式為.

②因為，

，

所以，

又因為，

所以，即，

所以，，

設直線的方程為，與橢圓方程聯立，

可得，整理得，

由①， ，

由①知，所以，即，

所以，整理得，

即，整理得：，

，

設直線，由，解得，

根據題意可知：

因為是增函數，所以

當時，直線的方程為：，

此時，此時達到最大值，

所以的最大值是.