Question

【題目】已知函數．

（1）若函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為9x﹣y+b＝0，求實數a，b的值；

（2）若a≤0，求f（x）的單調減區間；

（3）對一切實數a∈（0，1），求f（x）的極小值的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a＝5．b＝﹣15．（2），（1，+∞）．（3）．

【解析】

（1）根據導數的幾何意義，即切線的斜率，待定系數即可求解；

（2）求導，對參數進行分類討論，利用導數判斷單調性即可；

（3）利用導數對函數單調性進行討論，求極小值關于的函數，再求函數的最大值即可.

（1）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R），

由f′（2）＝9，得a＝5．

∴

∴f（2）＝3，

∴（2，3）在直線9x﹣y+b＝0上，

∴b＝﹣15．

（2）①若a＝0，，

∴f（x）的單調減區間為（1，+∞）．

②若a＜0，則，

令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1．

∴f（x）的單調減區間為，（1，+∞）．

（3），0＜a＜1，

列表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由圖可知：

f（x）的極小值為

．

當時，函數f（x）的極小值f（）取得最大值為．

故函數f（x）的極小值f（）取得最大值為.