Question

（2011•樂山一模）已知

a

=(

1

k

，2)，

b

=(-1，

1

x

)，f(x)=

a

•

b

（其中k為非零常數）．
（1）解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，求出函數的表達式，直接利用分類討論解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，轉化為

2

x

+2x≥

1

k

，在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式，求k的范圍．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

2

x

-

1

k

，
則f（x）＞0，即

2

x

-

1

k

＞0，即

x-2k

xk

＜0，
①如果k＞0，則原不等式等價于x（x-2k）＜0，
∴0＜x＜2k．
②如果k＜0，則原不等式等價于x（x-2k）＜0，
∴x＞0或x＜2k．
綜上所述，當k＞0時，原不等式的解集為{x|0＜x＜2k}．
當k＜0時，原不等式的解集為{x|0＜x或x＜2k}．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即

2

x

+2x-

1

k

≥0在（0，+∞）上恒成立，
即

2

x

+2x≥

1

k

，在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

2

x

+2x，∵x＞0，
∴g（x）≥2×2=4，當且僅當x=1時取等號，
∴

1

k

≤4，解得k＜0或k≥

1

4

．

點評：本題考查向量的數量積的應用，基本不等式的應用，分類討論的思想，考查計算能力．