Question

【題目】已知函數f（x）＝x|x﹣a|，a∈R.

（1）當f（2）+f（﹣2）＞4時，求a的取值范圍；

（2）若a＞0，x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a≤6

【解析】

（1）化簡不等式得到，利用零點分段法求得不等式的解集，也即求得的取值范圍.

（2）將不等式恒成立，轉化為.求得的最大值以及的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）f（2）+f（﹣2）＞4，可得2|2﹣a|﹣2|2+a|＞4，即|a﹣2|﹣|a+2|＞2，

則或或，

解得a≤﹣2或﹣2＜a＜﹣1或a∈，則a的范圍是（﹣∞，﹣1）；

（2）f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，等價為f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，

其中當x，y∈（﹣∞，a]，|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|＝|a+3|＝a+3，當且僅當﹣3≤y≤a取得等號，

而f（x）＝﹣x（x﹣a）＝﹣（x）2，當且僅當xa時取得等號.

所以a+3，解得0＜a≤6.