Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，是的兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)可得，令，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，由此即可函數(shù)的單調(diào)性情況；

（2）構(gòu)造函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的曲線為，可得，再分及討論即可得證.

（1）函數(shù)的定義域為，

，.

記，，

，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又.

所以當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，設(shè)，所以，.

設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的曲線為，

記為圖象上的任意一點，它關(guān)于直線的對稱點為，

則，

由，，則有.

（1）當(dāng)時，顯然有；

（2）當(dāng)時，記，

則，即，

所以當(dāng)時，，

因為，，且函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

所以有，得.

綜上所述，.