Question

（本小題滿分12分）已知f(x)=(x∈R)在區間[－1，1]上是增函數.
（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A={a|－1≤a≤1}（2）{m|m≥2，或m≤－2}.

解析試題分析：解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函數，∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.       ①
設(x)=x²－ax－2，
①    
∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0,∴A={a|－1≤a≤1}.    
（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，  ∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，
∴   從而|x₁－x₂|==.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
         g(－1)=m²－m－2≥0，
② 
g(1)=m²+m－2≥0，      n m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
考點：函數與方程，以及不等式的綜合
點評：解決該試題的關鍵是利用的單調性分離參數的思想得到參數a的范圍，同時利用不等式的恒成立來分析得到m的范圍，屬于中檔題。