Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為正方形，側面PAD為直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分別為AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求證：AP⊥面PCD．

Answer 1

【答案】證明：（I）法1：取PC中點G，連接FG、BG

因為F、G分別為PD、PC的中點，

所以FG∥CD且 ；

因為ABCD為正方形，所以BE∥CD，

又因為E為AB中點，所以 ，

所以BE∥FG，且BE=FG，

所以BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG；

因為EF面PBC，BG面PBC，

所以EF∥面PBC

法2：取CD中點H，連接FH，EH，

因為F，H分別為PD、CD的中點，

所以FH∥PC，EH∥BC；

又FH平面EFH，EH平面EFH，PC面PBC，BC面PBC，

且FH∩EH=H，

所以平面EFH∥平面PBC，

又因為EF平面EFH，

所以EF∥面PBC；

（II）因為ABCD為正方形，

所以CD⊥AD，

面PAD⊥面ABCD且AD為交線，

所以CD⊥面PAD，

AP面PAD，所以CD⊥AP，

PAD為直角三角形，且PA=PD，

所以PD⊥AP，

又CD∩PD=D，

所以，AP⊥面PCD；

【解析】（I）法1：取PC中點G，連接FG、BG，可得BE∥CD，又 ，可得BEFG為平行四邊形，即證明EF∥BG，進而判定EF∥面PBC；法2：取CD中點H，連接FH，EH，通過證明平面EFH∥平面PBC，進而判定EF∥面PBC．（II）利用線面垂直的性質可得CD⊥AP，進而證明PD⊥AP，即可證明線面垂直．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．