Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的所對的邊分別為a，b，c，且a2+b2=ab+c2 ．
（Ⅰ） 求tan（C﹣ ）的值；
（Ⅱ） 若c= ，求S△ABC的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2 ， a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC= = ，
∵C為△ABC內角，
∴C= ，
則tan（C﹣ ）=tan（ ﹣ ）= =2﹣ ；
（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，
∵S△ABC= absinC= ab，
∴S△ABC≤ ，
當且僅當a=b= 時“=”成立，
則S△ABC的最大值是
【解析】（Ⅰ） 利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，確定出C的度數，代入tan（C﹣ ）計算即可求出值；（Ⅱ）把c的值代入已知等式變形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面積的最大值．
【考點精析】關于本題考查的正弦定理的定義和余弦定理的定義，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正確答案．