Question

【題目】已知點,直線,動點到點的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過的直線,使得直線被曲線截得的弦恰好被點所平分？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據點P到點F的距離等于它到直線l的距離，利用拋物線的定義，可得點P的軌跡C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，從而可求拋物線方程為；（Ⅱ）假假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A，B，由中點坐標公式可得，利用點差法求直線的斜率，從而可得結論

試題解析：（1）因點P到點F的距離等于它到直線l的距離，

所以點P的軌跡C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，

其方程為…………………4分

（2）假設存在滿足題設的直線.設直線與軌跡交于,

依題意,得.

∵在軌跡上,

∴有,將,得.

當時,弦的中點不是,不合題意,

∴,即直線的斜率,

注意到點在曲線的張口內（或：經檢驗,直線與軌跡相交）

∴存在滿足題設的直線

且直線的方程為：即.…………………12分