Question

過點Q(-2,)作圓O:x2+y2=r2(r>0)的切線,切點為D,且|QD|=4.

(1)求r的值.

(2)設P是圓O上位于第一象限內的任意一點,過點P作圓O的切線l,且l交x軸于點A,交y軸于點B,設=+,求||的最小值(O為坐標原點).

 

Answer 1

(1)3 (2)6

【解析】(1)圓O:x2+y2=r2(r>0)的圓心為O(0,0),于是|QO|2=(-2)2+()2=25,

由題設知,△QDO是以D為直角頂點的直角三角形,

故有r=|OD|===3.

(2)設直線l的方程為+=1(a>0,b>0),

即bx+ay-ab=0,則A(a,0),B(0,b),

∴=(a,b),∴||=.

∵直線l與圓O相切,

∴=3⇒a2b2=9(a2+b2)≤()2,

∴a2+b2≥36,∴||≥6,

當且僅當a=b=3時取到“=”.

∴||取得最小值為6.