Question

如圖,函數(shù)f(x)=x+的定義域為(0,+∞).設(shè)點P是函數(shù)圖象上任一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M,N.

(1)證明:|PM|·|PN|為定值.

(2)O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

 

Answer 1

(1)見解析 (2) +1

【解析】(1)設(shè)P(x0,x0+)(x0>0).

則|PN|=x0,|PM|==,

因此|PM|·|PN|=1.

(2)連接OP,直線PM的方程為

y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.

解方程組

得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.

S四邊形OMPN=S△NPO+S△OPM

=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|

=x0(x0+)+(x0+)

=+(+)

≥+1,

當(dāng)且僅當(dāng)x0=,即x0=1時等號成立,因此四邊形OMPN面積的最小值為+1.