Question

某市環保研究所對市中心每天環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染指數f（x）與時間x（小時）的關系為f(x)=|

x

x2+1

+

1

3

-a|+2a，x∈[{0，24}]，其中a與氣象有關的參數，且a∈[0，

3

4

]，若用每天f（x）的最大值為當天的綜合污染指數，并記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（2）求函數M（a）；
（3）市政府規定，每天的綜合污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數是多少？是否超標？

Answer 1

分析：（1）先對所給函數式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求t的取值范圍即可；
（2）令g(x)=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．下面分類討論：當a-

1

3

＜

1

4

，當a-

1

3

≥

1

4

，分別求出函數g（x）的最大值即得；
（3）利用（2）得出的函數分析知，當a∈[0，

7

12

)時，M（a）是增函數；當a∈[

7

12

，

3

4

]時，M（a）是增函數，從而求得它的最大值即可解決問題．

解答：解：（1）∵t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，x=0時，t=0.0＜x≤24時，
t=

1

x+ 1 x

，x+

1

x

≥2，∴0＜t≤

1

2

．∴t∈[0，

1

2

]．（4分）
（2）令g(x)=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．
當a-

1

3

＜

1

4

，即0≤a＜

7

12

時，[g(x)]max=g(

1

2

)=|

5

6

-a|+2a=a+

5

6

；
當a-

1

3

≥

1

4

，即

7

12

≤a≤

3

4

時，[g(x)]max=g(0)=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．
所以M(a)=

a+ 5 6 ，0≤a＜ 7 12 3a- 1 3 ， 7 12 ≤a≤ 3 4

（10分）
（3）當a∈[0，

7

12

)時，M（a）是增函數，M(a)＜M(

7

12

)=

17

12

＜2；
當a∈[

7

12

，

3

4

]時，M（a）是增函數，M(a)≤M(

3

4

)=

23

12

＜2．
綜上所述，市中心污染指數是

23

12

，沒有超標．（15分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、待定系數法求函數解析式及分類討論的思想，屬于實際應用題．