Question

某市環保研究所對市中心每天環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染指數f（x）與時間x（小時）的關系為，x∈[{0，24}]，其中a與氣象有關的參數，且，若用每天f（x）的最大值為當天的綜合污染指數，并記作M（a）．
（1）令，求t的取值范圍；
（2）求函數M（a）；
（3）市政府規定，每天的綜合污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數是多少？是否超標？

Answer 1

【答案】分析：（1）先對所給函數式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求t的取值范圍即可；
（2）令．下面分類討論：當，當，分別求出函數g（x）的最大值即得；
（3）利用（2）得出的函數分析知，當時，M（a）是增函數；當時，M（a）是增函數，從而求得它的最大值即可解決問題．
解答：解：（1）∵，x=0時，t=0.0＜x≤24時，
，∴．∴．（4分）
（2）令．
當，即時，；
當，即時，．
所以（10分）
（3）當時，M（a）是增函數，；
當時，M（a）是增函數，．
綜上所述，市中心污染指數是，沒有超標．（15分）
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、待定系數法求函數解析式及分類討論的思想，屬于實際應用題．