Question

某市環保研究所對市中心每天環境污染情況進行調查研究后，發現一天中綜合污染指數f（x）與時間x（小時）的關系為f（x）=|

1

2

sin

π

32

x+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a為與氣象有關的參數，且a∈[

1

3

，

3

4

]．若將每天中f（x）的最大值作為當天的綜合污染指數，并記作M（a）．
（Ⅰ）令t=

1

2

sin

π

32

x，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數M（a）的解析式；
（Ⅲ）為加強對環境污染的整治，市政府規定每天的綜合污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數是否超標？

Answer 1

分析：（I）利用正弦函數的性質，可求t的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論求最值，即可求函數M（a）的解析式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值為

23

12

，它小于2，即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）因為x∈[0，24]，所以

πx

32

∈[0，

3π

4

]，所以sin(

πx

32

)∈[0，1]，故t∈[0，

1

2

]．
（Ⅱ）因為a∈[

1

3

，

3

4

]，所以0≤a-

1

3

≤

5

12

＜

1

2

，
所以f(t)=|t-(a-

1

3

)|+2a=

-t+3a- 1 3 ，t∈[0，a- 1 3 ] t+a+ 1 3 ，t∈[a- 1 3 ， 1 2 ]

．
當t∈[0，a-

1

3

]時，f(t)max=f(0)=3a-

1

3

；
當t∈[a-

1

3

，

1

2

]，f(t)max=f(

1

2

)=

5

6

+a．
而f(0)-f(

1

2

)=2a-

7

6

，
當

1

3

≤a≤

7

12

，f(0)≤f(

1

2

)，M(a)=f(

1

2

)=

5

6

+a；
當

7

12

＜a≤

3

4

，f(0)＞f(

1

2

)，M(a)=f(0)=3a-

1

3

．
所以M(a)=

5 6 +a，a∈[ 1 3 ， 7 12 ] 3a- 1 3 ，a∈( 7 12 ， 3 4 ]

，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值為

23

12

，它小于2，所以目前市中心的綜合污染指數沒有超標．

點評：本題考查三角函數的性質，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．