Question

【題目】已知數(shù)列，若對(duì)任意的，，，存在正數(shù)使得，則稱數(shù)列具有守恒性質(zhì)，其中最小的稱為數(shù)列的守恒數(shù)，記為.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列且公差為，前項(xiàng)和記為.

①證明：數(shù)列具有守恒性質(zhì)，并求出其守恒數(shù).

②數(shù)列是否具有守恒性質(zhì)？并說(shuō)明理由.

（2）若首項(xiàng)為1且公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列具有守恒性質(zhì)，且，求公比值的集合.

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析，.②數(shù)列不具有守恒性質(zhì).見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）①運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列具有守恒性質(zhì)可得結(jié)論；

②數(shù)列不具有守恒性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）討論，，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式的性質(zhì)，構(gòu)造數(shù)列，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解：（1）①因?yàn)?/span>是等差數(shù)列且公差為，所以，

所以對(duì)任意，，

恒成立，

所以數(shù)列具有守恒性質(zhì)，且守恒數(shù).

②假設(shè)數(shù)列具有守恒性質(zhì)，因?yàn)?/span>，所以存在實(shí)數(shù)，

.

若，則當(dāng)時(shí)，，矛盾；

若，則當(dāng)時(shí)，，矛盾.

所以數(shù)列不具有守恒性質(zhì).

（2）顯然且，因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)閿?shù)列具有守恒性質(zhì)，

所以對(duì)任意，，存在正數(shù)使得，

即存在正數(shù)，對(duì)任，都成立.

（i）若，等比數(shù)列遞增，不妨設(shè)，則，

即，

設(shè)，由式中的，任意性可知，數(shù)列不遞增，

所以對(duì)任意恒成立.

而當(dāng)，，

所以不符題意.

（ii）若，則數(shù)列單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，

即，

設(shè)，由式中的，任意性可知，數(shù)列不遞減，

所以對(duì)任意恒成立，

所以對(duì)任意恒成立，

顯然，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

所以.

又，故，即.

綜上所述，公比的取值集合為.