Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且 ，證明：|b|＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：原不等式等價于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，

當x＞2時，不等式可化為：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，

解得：x≥4，

當1≤x≤2時，不等式可化為（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，無解，

x＜1時，不等式可化為：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，

綜上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}

（2）證明：

|ab﹣2|＞|a|| ﹣2|

|ab﹣2|＞|b﹣2a|

（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2

a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0

（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，

∵|a|＞1，

∴a2﹣1＞0，

∴b2﹣4＞0，

∴|b|＞2，證畢

【解析】（1）通過討論x的范圍，去掉絕對值號，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（ ），代入不等式，問題轉化為|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．