Question

【題目】已知拋物線的焦點為拋物線上存在一點到焦點的距離等于3.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點的直線與拋物線相交于兩點（兩點在軸上方），點關于軸的對稱點為，且，求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）拋物線的準線方程為，所以點 到焦點的距離為．,解得,從而可得拋物線的方程；（2）設直線的方程為．

將代入并整理得，設， ， ，根據韋達定理以及平面向量數量積公式可得，求得直線與的中垂線方程，聯立可得圓心坐標，根據點到直線距離公式以及勾股定理可得圓的半徑，從而可得外接圓的方程.

試題解析：（1）拋物線的準線方程為，

所以點 到焦點的距離為．

解得．

所以拋物線的方程為．

（2）設直線的方程為．

將代入并整理得，

由，解得．

設， ， ，

則， ，

因為

因為，所以．

即，又，解得．

所以直線的方程為．設的中點為,

則， ，

所以直線的中垂線方程為．

因為的中垂線方程為，

所以△的外接圓圓心坐標為．

因為圓心到直線的距離為，

且，

所以圓的半徑．

所以△的外接圓的方程為．