Question

【題目】如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“型點”.

（1）若，時，判斷的左焦點是否為“型點”，并說明理由；

（2）設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“型點”；

（3）若圓內的任意一點都不是“型點”，試寫出a、b滿足的關系式，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是，見解析；（2）見解析；（3），見解析

【解析】

（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點為（，0），存在直線x分別求得交點坐標，即可說明；

（2）由直線y＝kx與C2有公共點聯立方程組有實數解得到|k|＞1，分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過原點的直線不可能同時與C1和C2有公共點；

（3）先考慮圓內存在過Q的直線l與C1，C2都有公共點時的條件，由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y＝x±1與y＝﹣x±1之間，進而說明當|k|＞1時，過圓內的點且斜率為k的直線與C2有公共點，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，從而得到，再取補集即可．

（1）C1的左焦點為（，0），存在直線x時，

與雙曲線C1的交點為（，±），與曲線C2交點為（，±（1）），

則C1的左焦點是“C1﹣C2型點”；

（2）因為直線y＝kx與C2有公共點，

所以方程組有實數解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|1．

若原點是“C1﹣C2型點”，則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點．

考慮過原點與C2有公共點的直線x＝0或y＝kx（|k|＞1）．

顯然直線x＝0與C1無公共點．

如果直線為y＝kx（|k|＞1），則由方程組，得x2，矛盾．

所以直線y＝kx（|k|＞1）與C1也無公共點．

因此原點不是“C1﹣C2型點”．

（3）記圓，取圓O內的一點Q，

由題意圓內的任意一點都不是“型點”的反面是存在過Q的直線l與C1，C2都有公共點，

顯然l不與x軸垂直，

故可設l：y＝kx+t．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y＝x±1與y＝﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y＝kx±1與y＝﹣kx±1之間，

從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點，矛盾，所以|k|＞1．

因為l與C1有公共點，所以方程組有實數解，

得（﹣k2）x2﹣ktx﹣t2﹣＝0．

因為|k|＞1，且所以﹣k2≠0，

因此△＝（kt）2﹣4（﹣k2）（﹣t2﹣）≥0，

即t2k2﹣．

因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離，

所以，從而k2﹣，得>k2﹣，

k2恒成立，

又k2∴當時，即時，

圓內存在過Q的直線l與C1，C2都有公共點，

因此，圓內的任意一點都不是“型點”，

則需．