Question

【題目】空間幾何體ABCDEF如圖所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD為梯形，ADEF為正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G為CE的中點． （Ⅰ）求證：BG∥面ADEF；
（Ⅱ）求證：面DBG⊥面BDF．

Answer 1

【答案】證明：（ I）如圖1，取ED中點H，連接HG、AH， 因為G、H分別為EC、ED的中點，所以HG∥CD且
因為AB∥CD且
所以AB∥HG，且AB=HG．
所以AHGB為平行四邊形，所以AH∥BG；
因為BG面PBC，AH面PBC，所以BG∥面ADEF；

圖1
（Ⅱ）如圖2，∵ABCD⊥面ADEF及ED⊥DCED⊥面ADCDED⊥DC．
取BD中點O，連接OF，OG、DG
∵AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，∴BF=DF=DB=2 ，OF⊥BD，OF= ，
∵BG=AH= ，DG= EC= ，∴OG⊥BD，OG=
∴∠FOG為二面角F﹣BD﹣G的平面角；
在△OFG中，OF= ，OG= ，FG= ，
滿足OF2+OG2=FG2 ， ∴∠FOG為直角，
∴面DBG⊥面BDF．

【解析】（Ⅰ）取ED中點H，連接HG、AH，只需證明AH∥BG即可；（Ⅱ）取BD中點O，連接OF，OG、DG，易得∠FOG為二面角F﹣BD﹣G的平面角，解△OFG即可．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．