Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 （a＞0，β為參數），以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程ρcos（θ﹣ ）= ．
（Ⅰ）若曲線C與l只有一個公共點，求a的值；
（Ⅱ）A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB= ，求△OAB的面積最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓； 直線l的直角坐標方程為
由直線l與圓C只有一個公共點，則可得
解得：a=﹣3（舍）或a=1
所以：a=1．
（Ⅱ）由題意，曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ（a＞0）
設A的極角為θ，B的極角為
則： = =
∵cos =
所以當 時， 取得最大值
∴△OAB的面積最大值為 ．
解法二：因為曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓，且
由正弦定理得： ，所以|AB=
由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|
則： ≤ × = ．
∴△OAB的面積最大值為
【解析】（Ⅰ）根據sin2β+cos2β=1消去β為參數可得曲線C的普通方程，根據ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 直線l的極坐標方程化為普通方程，曲線C與l只有一個公共點，即圓心到直線的距離等于半徑，可得a的值． （Ⅱ）利用極坐標方程的幾何意義求解即可．