Question

【題目】已知向量 ，函數 ，若函數f（x）圖象的兩個相鄰的對稱軸間的距離為 ．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若△ABC滿足f（A）=1，a=3，BC邊上的中線長為3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 ，

則函數

=2 sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1

= sin2ωx+cos2ωx

=2sin（2ωx+ ），

由函數f（x）圖象的兩個相鄰的對稱軸間的距離為 ，

T=π= ，解得ω=1；

∴f（x）=2sin（2x+ ），

令﹣ +2kπ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

∴函數f（x）的單調增區間為[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：△ABC滿足f（A）=1，

∴2sin（2A+ ）=1，

由0＜A＜π，得 ＜2A+ ＜ ，

∴2A+ = ，解得A= ；

由a=3，得| |=| ﹣ |=a=3①，

由BC邊上的中線長為3，得| + |=6②；

由①②組成方程組，解得 = ，

∴| || |= ，

∴△ABC的面積為S= | || |sin =

【解析】（1）根據平面向量數量積的運算和三角恒等變換化f（x）為正弦型函數；根據對稱軸求出周期和ω，寫出解析式，求出函數f（x）的單調增區間；（2）根據f（A）=1求出A的值，再由a=| |=3，BC邊上的中線長得| + |=6；求出 的值，從而求出| || |的值，即可求出△ABC的面積．