Question

如圖梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，過點C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，現將梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直線BD與平面ABCE所成角的正切值；
（2）設線段AB的中點為P，在直線DE上是否存在一點M，使得PM∥面BCD？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

Answer 1

（1）連接BE，因為梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，
所以DE⊥EC，
又∵面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，
所以∠DBE為所求．
設BC=1，有AB=1AD=2，所以DE=1EB=

2

，
所以tan∠DBE=

DE

BE

=

2

2

．…（6分）
（2）存在點M，當M為線段DE的中點時，PM∥平面BCD，
取CD的中點N，連接BN，MN，則MN∥=

1

2

AB∥=PB
所以PMNB為平行四邊形，所以PM∥BN
因為BN在平面BCD內，PM不在平面BCD內，
所以PM∥平面BCD．…（12分）