Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求證：BD⊥PC；
（2）求三棱錐A-PCD的體積；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

（1）證明：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC∩BD=O．
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA=2a是四棱錐P-ACD的高．
而S△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

a2．
∴V四棱錐P-ACD=

1

3

S△ACD•PA=

1

3

•

1

2

a2•2a=

1

3

a3．
（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，2a）．
則

BC

=（0，a，0），

PC

=（a，a，-2a），

DC

=（a，0，0）．
設(shè)平面PAC的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • BC =ay=0 m • PC =ax+ay-2az=0

，令x=2，則y=0，z=1，∴

m

=(2，0，1)．
同理可得平面PCD的法向量

n

=（0，2，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

5 • 5

=

1

5

．
由圖形可知：二面角B-PC-D的平面角是鈍角，故其余弦值為-

1

5

．