Question

【題目】已知數列{an}滿足an+1=2an+n﹣1，且a1=1．
（Ⅰ）求證：{an+n}為等比數列；
（Ⅱ）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵an+1=2an+n﹣1，
∴ = =2，
∴數列{an+n}為等比數列；
（Ⅱ）解：∵a1+1=2，
∴數列{an+n}是首項、公比均為2的等比數列，
∴an+n=2n ， 即an=﹣n+2n ，
∴Sn=﹣（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）
=﹣ +
=2n+1﹣ ﹣2
【解析】（Ⅰ）利用an+1=2an+n﹣1化簡 即得結論；（Ⅱ）通過a1=1可知數列{an+n}是首項、公比均為2的等比數列，進而可求出數列{an}的通項公式，進而利用分組法求和計算即得結論．
【考點精析】掌握等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．