【題目】已知函數
，
，設
.
（Ⅰ）若
在
處取得極值，且
，求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
時函數有兩個不同的零點
、
.
①求
的取值范圍；②求證：
.
【答案】（1）在區間（0,1）上單調增；在區間（1,+
）上單調減.（2）①（
，0）②詳見解析
【解析】
試題（1）先確定參數：由
可得a=b-3. 由函數極值定義知
所以a=" -2,b=1" .再根據導函數求單調區間（2）①當
時，
，原題轉化為函數
與直線
有兩個交點，先研究函數圖像，再確定b的取值范圍是（，0）.
②
，由題意得
,所以
，因此須證
，構造函數
，即可證明
試題解析：（1）因為
，所以
,
由可得a=b-3.
又因為
在
處取得極值，
所以，
所以a=" -2,b=1" .
所以
，其定義域為（0，+）
令
得
，
當
（0,1）時，
，當（1,+）
，
所以函數h（x）在區間（0,1）上單調增；在區間（1,+）上單調減.
（2）當時，，其定義域為（0，+）.
①由
得
，記，則
,
所以在
單調減，在
單調增，
所以當
時取得最小值.
又
，所以
時
，而
時
,
所以b的取值范圍是（，0）.
②由題意得,
所以
,
所以，不妨設x1<x2,
要證
, 只需要證
.
即證，設
,
則
,
所以
,
所以函數
在（1，+）上單調增，而
，
所以
即
,
所以.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，其中
是自然對數的底數.
（1）若
，
，證明
；
（2）是否存在實數
，使得函數
在區間
上有兩個零點？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點O，EF∥AB，EF
AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G為BC的中點，求證：
（1）OG∥平面ABFE；
（2）AC⊥平面BDE．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是梯形，
,
,
是正三角形，
為
的中點，平面
平面
．
（1）求證：
平面
；
（2）在棱
上是否存在點
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，點
是拋物線
上一點，且滿足
.
（1）求
、
的值；
（2）設
、
是拋物線上不與
重合的兩個動點，記直線
、
與的準線的交點分別為
、
，若
，問直線
是否過定點？若是，則求出該定點坐標，否則請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為：
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為：
．
（Ⅰ）求直線與曲線公共點的極坐標；
（Ⅱ）設過點
的直線
交曲線于
，
兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數h（x）是定義在（﹣2，2）上，滿足h（﹣x）＝﹣h（x），且x∈（0，2）時，h（x）＝﹣2x，當x∈（﹣2，0）時，不等式[h（x）+2]2＞h（x）m﹣1恒成立，則實數m的取值范圍是_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（
），其中離心率
，點
為橢圓
上的動點，
為橢圓的左右焦點，若
面積的最大值為
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線
交橢圓于
兩點，點
是橢圓的上頂點，若
，試問直線是否經過定點，若經過定點，求出定點坐標，否則說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝
x3(a>0且a≠1)．
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)討論函數f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．
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