Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點，且直線恰好通過橢圓的右焦點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）經過橢圓右焦點的直線和橢圓交于兩點，點在橢圓上，且，

其中為坐標原點，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由知，可設，其中，把，代入橢圓方程中解得，故橢圓方程為

（2）知直線的斜率不為零，故可設直線方程為，設，由已知，從而，由于均在橢圓上，故有：，三式結合化簡得

，把直線方程為和橢圓方程聯立并結合韋達定理，即可求得的值

試題解析：（1）由知，可設，其中

由已知，代入橢圓中得：即，解得

從而，

故橢圓方程為

（2）設，由已知

從而，由于均在橢圓上，故有：

第三個式子變形為：

將第一，二個式子帶入得： （*）

分析知直線的斜率不為零，故可設直線方程為，與橢圓聯立得：

，由韋達定理

將（*）變形為：

即

將韋達定理帶入上式得：，解得

因為直線的斜率，故直線的斜率為