Question

【題目】已知函數

（1）若，且在上單調遞增，求實數的取值范圍

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）實數是存在的，且.

【解析】

試題分析：（1）原題等價于在時恒成立，即恒成立，分離參數得，只需求得函數在區間值域即可；

（2）利用反證法假設存在這樣的實數，則在時恒成立，且可以取到等號，故，即，利用導函數求得函數的最小值，最后令最小值等于1，可求出參數的范圍.

試題解析：（1）

由已知在時恒成立，即恒成立

分離參數得，

因為

所以

所以正實數的取值范圍為：

（2）假設存在這樣的實數，則在時恒成立，且可以取到等號

故，即

從而這樣的實數必須為正實數，當時，由上面的討論知在上遞增，，此時不合題意，故這樣的必須滿足，此時：

令得的增區間為

令得的減區間為

故

整理得

即，設，

則上式即為，構造，則等價于

由于為增函數，為減函數，故為增函數

觀察知，故等價于，與之對應的

綜上符合條件的實數是存在的，且