Question

【題目】已知．

（1）當為常數(shù)，且在區(qū)間變化時，求的最小值；

（2）證明：對任意的，總存在，使得 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明略.

【解析】

試題分析：（1）當為常數(shù)時，則函數(shù)即為關(guān)于的函數(shù)，求出此函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)，先求函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理，即可證明.

試題解析：（1）當為常數(shù)時，

，

，

當，在上遞增，其最小值

（2）令

由

①當，即時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

，

所以對任意在區(qū)間內(nèi)均存在零點，即存在，使得．

②當，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以時，函數(shù)取最小值，

又，

若，則，，

所以在內(nèi)存在零點；

若，則，所以在內(nèi)存在零點，

所以，對任意在區(qū)間內(nèi)均存在零點，即存在，使得．

結(jié)合①②，對任意的，總存在，使得．