Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，點A在橢圓C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，過點F₂且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)線段OF₂(O為坐標原點)上是否存在點M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) ＋＝1  (2)存在，其中m∈.理由見解析

解：(1)由題意知，∠AF₁F₂＝90°，
cos∠F₁AF₂＝，
注意到||＝2，
所以||＝，||＝，
2a＝||＋||＝4，
所以a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3，
故所求橢圓的方程為＋＝1.
(2)假設存在這樣的點M符合題意．
設線段PQ的中點為N，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(x₀，y₀)，直線PQ的斜率為k(k≠0)，
注意到F₂(1,0)，則直線PQ的方程為y＝k(x－1)，
由得(4k²＋3)x²－8k²x＋4k²－12＝0，
所以x₁＋x₂＝，
故x₀＝＝，
又點N在直線PQ上，
所以N.
由·＝·可得·(＋)＝2·＝0，
即PQ⊥MN，
所以k_MN＝＝－，
整理得m＝＝∈，
所以線段OF₂上存在點M(m,0)符合題意，
其中m∈.