Question

在平面直角坐標系xOy中，過點A(－2，－1)橢圓C∶＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，短軸端點為B₁、B₂，＝2b².
(1)求a、b的值；
(2)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R.過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P.若AQ·AR＝3OP²，求直線l的方程．

Answer 1

（1）a＝2，b＝（2）當k＝1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，當k＝－2時，直線l的方程為2x＋y＋5＝0.

(1)因為F(－c,0)，B₁(0，－b)，B₂(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．
因為＝2b²，
所以c²－b²＝2b².①
因為橢圓C過A(－2，－1)，代入得，＝1.②
由①②解得a²＝8，b²＝2.
所以a＝2，b＝.
(2)由題意，設直線l的方程為y＋1＝k(x＋2)．
由得(x＋2)[(4k²＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.
因為x＋2≠0，所以x＋2＝，即x_Q＋2＝.
由題意，直線OP的方程為y＝kx.
由得(1＋4k²)x²＝8.則＝，
因為AQ·AR＝3OP².所以|x_Q－(－2)|×|0－(－2)|＝3.
即×2＝3×.
解得k＝1，或k＝－2.
當k＝1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，當k＝－2時，直線l的方程為2x＋y＋5＝0