Question

如圖，正方體的邊長為2，，分別為，的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱，分別交于，.
（1）求證：；
（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）2.

試題分析：（1）利用正方形的性質，證明，利用線面平行的判定定理證明平面，再用線面平行的性質定理證明；（2）由條件底面，證明，，
建立空間直角坐標系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直線與平面所成的角，再設點，因為點在棱上，所以可設，利用向量的坐標運算，求的值，最后用空間中兩點間的距離公式求.
（1）在正方形中，因為是的中點，所以，
因為平面，所以平面，
因為平面，且平面平面，
所以.
（2）因為底面，所以，，
如圖建立空間直角坐標系，則，，，
，設平面的法向量為，
則，即，令，則，所以，
設直線與平面所成的角為，則，
因此直線與平面所成的角為，
設點，因為點在棱上，所以可設，
即，所以，
因為向量是平面的法向量，所以，
即，解得，所以點的坐標為，
所以.