Question

已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點，且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

Answer 1

⑴當時，PA∥平面QBD；⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

試題分析：⑴要使得PA∥平面QBD，必須使得平面QBD內有一條直線與PA平行，為了找這條直線，先作過PA與平面QBD相交的平面，只要交線與PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP兩兩垂直，故可以B為坐標原點，以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量進行計算.
試題解析：⑴當時，PA∥平面QBD，證明如下：
連結AC交BD于點M，
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
過PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       4分
⑵設BC=1，如圖，以B為坐標原點，以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系O- xyz(其中點B與點O重合)，則C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).
∵PQ=2QC，∴
設平而QBD的一個法向量為，
則
取.

又平面CBD的一個法向量為
設二面角Q-BD-C的平面角為，又為銳角
∴
∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。      12分