Question

如圖，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱底面，且，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)．
（1）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
（2）若，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）,（2）.

試題分析：（1）求異面直線所成角，關(guān)鍵在于利用平行，將所求角轉(zhuǎn)化為某一三角形中的內(nèi)角.因?yàn)闂l件有中點(diǎn)，所以從中位線上找平行. 取的中點(diǎn)，連，則，即即為異面直線與所成的角．分別求出三角形三邊，再利用余弦定理求角. ，，，，,（2）求線段長(zhǎng)，可利用空間向量坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算. 設(shè)的長(zhǎng)為，，，由知可得，∴線段的長(zhǎng)為
解：（1）取的中點(diǎn)，連，則，即即為異面直線與所成的角．   （2分）
連.
在中，由，
知
在中，由，知 （4分）
在中，
∴   （6分）
（2）以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長(zhǎng)為
則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，， （2分）
∴，
由知   （4分）
即，解得
∴線段的長(zhǎng)為   （6分）