Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA₁中點.
（1）求證：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在側棱BB₁上確定一點E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小為.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點滿足.

試題分析：（1）由面ACC₁A₁⊥面ABCAB⊥面ACC₁A₁AB⊥CD，由D為AA₁中點，AC=A₁C可推出CD⊥AA₁，從而得到CD⊥面ABB₁A_1.（2）由題意，以點C為坐標系原點，CA為x軸，過C點平行于AB的直線為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，求平面面A₁C₁A的一個法向量、平面EA₁C₁的一個法向量，利用向量法求解.
（1）【證】∴面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC
∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D為AA₁中點，則CD⊥AA₁  ∴CD⊥面ABB₁A_1.（6分）
（2）【解】如圖所示以點C為坐標系原點，CA為x軸，過C點平行于AB的直線為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，則有A(a,0,0),B(a,a,0),A₁(0,0,a), B₁(0,a,a)

C₁(-a,0,a)，設，且，
即有
所以E點坐標為
由條件易得面A₁C₁A的一個法向量為
設平面EA₁C₁的一個法向量為，
由可得
令y=1，則有，（9分）
則，得，
∴當時，二面角E-A₁C₁-A的大小為.（12分）