Question

已知數(shù)列{a_n}是公差大于0的等差數(shù)列，且a₁=2，a₃=a₂²-10．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是以函數(shù)f（x）=4sin²πx的最小正周期為首項，以f（

1

3

）為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n-b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義聯(lián)立方程組求得d，即得通項公式；
（2）利用三角函數(shù)的周期定義求得b_n首項及q，寫出b_n通項公式，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式求出S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，
解得d=2，或d=-4（舍去）．--------（3分）
所以a_n=2n．--------（5分）
（Ⅱ）因為f（x）=4sin²πx=-2cos2πx+2，最小正周期T=

2π

2π

=1，所以b₁=1，
又f（

1

3

）=3，故q=3，b_n=3^n-1，a_n-b_n=2n-3^n-1．-----------（8分）
故S_n=（2+4+6+…+2n）-（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1）
=n²+n+

1

2

-

1

2

•3ⁿ．------（12分）

點評：本題主要考查學生對等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式的掌握運用情況，屬基礎題．